Ansteckungsmöglichkeiten in Gruppen

Durch klichen der runden Knöpfe oben kann die Gruppe von 36 Personenen aufgeteilt werden. Die Linien repräsentieren mögliche Ansteckungswege innerhalb einer Gruppe. Orange und rot unterscheiden die Richtung der Ansteckung. Auf den nächsten Slides ist die Mathematik genauer erklärt.

In einer Gruppe von $N$ Personen gibt es

$$L_0=N(N-1)$$

verschiedene, gerichtete Kontakte. “Gerichtet” bedeutet, dass man zwischen einer Übertragung von Person A an Person B und einer Übertragung von Person B an Person A unterscheidet. Für das Endergebnis, also die Reduktion der Anzahl von möglichen Transmissionswegen ist das unerheblich. Wir nennen im Folgenden einen Übertragungsweg “Link” (englisch: Verbindung) weil das einfacher ist.

Haben wir also eine Gruppe von $10$ Menschen, gibt es $90$ Übertragungsmöglichkeiten.

Teile ich meine ursprüngliche Gruppe in $K$ kleinere Gruppen, dann besteht jede der kleineren Gruppen aus $N_G = N/K$ Personen.

Innerhalb einer der kleinen Gruppen haben wir also

$$L_G=N_G(N_G-1) = \frac{N}{K} \left (\frac{N}{K}-1 \right) $$

Links. Weiter geht’s auf dem nächsten Slide……

Eine verkleinerte Gruppe hat also

$$L_G= \frac{N}{K} \left (\frac{N}{K}-1 \right) $$

Links. Das können wir auch so schreiben:

$$L_G = \frac{N}{K} \left (\frac{N}{K}-1 \right) = \frac{1}{K^2} \left (\frac{N-K}{N-1} \right)L_0$$

In dem Ausdruck rechts ist ein Faktor $(N-K)/(N-1)$. Dieser Faktor ist in Situationen in denen die Ursprungsanzahl $N$ der Personen viel größer ist als die Anzahl der Gruppen in die geteilt wird (also $N\gg K$) ungefähr 1:

$$(N-K)/(N-1)\approx 1$$.

Das heißt…..

…wir können schreiben:

$$L_G \approx \frac{1}{K^2}L_0$$

Wenn wir also eine Gruppe von 100 Personen haben und eine andere Gruppe von halb so vielen ($K=2$) Personen (also 50) dann sind in der kleineren Gruppe nur $1/4$ so viele Links. Das ist also eine Reduktions um 75%.

Wenn wir, wie eingangs erklärt, aber eine große Gruppe von $N$ Personen in $K$ kleinere Gruppen teilen, in denen jeweils nur noch $L_G$ Links vorhanden sind, ergibt das für alle $K$ kleinen Gruppen insgesamt:

$$L=K\times L_G$$

für die Gesamtzahl von Links, also $$L=K \times L_G \approx \frac{1}{K}L_0$$.

das bedeutet….

…wenn man eine Gruppe in $K$ kleinere Gruppen teilt, sinkt die Gesamtanzahl von Kontakten um den Faktor $K$. Also im oberen Beispiel ($N=100$, $K=2$) um 50%.

Die Beziehung

$$L \approx \frac{1}{K}L_0$$.

gilt aber nur näherungsweise wenn $N\gg K$ erfüllt ist.

Exakt lautet die Gleichung:

$$L= \frac{1}{K}\left (\frac{N-K}{N-1} \right)L_0$$.

Fazit: Gruppenteilen verringert die Transmissionsmöglichkeiten substantiell